Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны - это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только надо пользоваться особыми таблицами сложения и умножения для каждой системы.

1. Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя правила счета.

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления .

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75 .

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду :

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9,4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Вычитание

Заем единицы из старшего разряда

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10 2 , 10 8 и 10 16

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100 2 , 100 8 и 100 16 .

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

Ответ: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D,8 16 .

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

УРОК №19-20.

Тема

Арифметические операции в позиционных системах счисления. Умножение и деление.

Цель урока: показать способы арифметических операций (умножения и деления) чисел в разных системах счисления, проверить усвоение темы «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления».

Задачи урока:

образовательные : практическое применение изученного материала по теме «Умножение и деление в различных системах счисления», закрепление и проверка знаний по теме «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления». развивающие: развитие навыков индивидуальной практической работы , умения применять знания для решения задач. воспитательные: достижение сознательного усвоения материала учащимися.

Материалы и оборудование к уроку: карточки для самостоятельной работы, таблицы умножения.

Тип урока: комбинированный урок

Форма проведения урока : индивидуальная, фронтальная.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания.

Домашнее задание:

1. № 2.41 (1 и 2 столбик), практикум, стр. 55

Решение:

А) 11102+10012 =101112

Б) 678+238=1128

В)AF16+9716 = 14616

Г)11102-10012 =1012

Д) 678-238 =448

Е) АF16-9716 =1816

2. №2.48 (стр. 56)

2. Самостоятельная работа «Сложение и вычитание чисел в различных системах счисления». (20 минут)

3. Новый материал.

1. У м н о ж е н и е

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Пример 1. Перемножим числа 5 и 6 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image004_82.gif" width="419" height="86 src=">
Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.
Проверка.
111102 = 24 + 23 + 22 + 21 = 30;
368 = 381 + 680 = 30.

Пример 2. Перемножим числа 115 и 51 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image006_67.gif" width="446" height="103 src=">
Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.
Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:
10110111010012 = 212 + 210 + 29 + 27 + 26 + 25 + 23 + 20 = 5865;
133518 = 1 . 84 + 3 . 83 + 3 . 82 + 5 . 81 + 1 . 80 = 5865.

2. Д е л е н и е

Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто , ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.
Пример 3. Разделим число 30 на число 6.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image008_48.gif" width="478" height="87 src=">
Ответ: 30: 6 = 510 = 1012 = 58.

Пример 4. Разделим число 5865 на число 115.

https://pandia.ru/text/80/244/images/image010_50.gif" width="400" height="159 src=">

Восьмеричная: 133518:1638

https://pandia.ru/text/80/244/images/image012_40.gif" width="416" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/80/244/images/image014_36.gif" width="72" height="89 src=">
Ответ: 35: 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.
Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,12 = 21 + 2 -1 = 2,5;
2,48 = 2 . 80 + 4 . 8-1 = 2,5.

4. Домашнее задание:

1. Приготовиться к контрольной работе № 2 «По теме Системы счисления. Перевод чисел. Арифметические операции в системах счисления»

2. Практикум Угринович, №2.46, 2.47, стр. 56.

Литература:

1. Практикум по информатике и информационным технологиям . Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / , . – М.: Бином. Лаборатория Знаний, 2002. 400 с.: ил.

2. Угринович и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003.

3. Шауцукова: Учебн. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2003.9 - с. 97-101, 104-107.

Двоичная система счисления Сложение одноразрядных двоичных чисел: 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 Пример 1101 + 101 -----10010

Двоичная система счисления Вычитание одноразрядных двоичных чисел: 0 -0=0 1 -0=1 0 - 1 = (заем из старшего разряда) 1 1 -1=0 Пример: 1110 - 101 ---1001

Двоичная система счисления Умножение одноразрядных двоичных чисел: 0*0=0 1*0=0 0*1=0 1*1=1 Пример: 1110 * 10 -----+ 0000 1110 -------11100

Двоичная система счисления Деление выполняется так же как в десятичной системе счисления: 1110 10 11 10 10 10 111

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков: сравниваются порядки; и выравниваются выполняется сложение или вычитание мантиссы; производится нормализация результата, если это нужно.

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков: Пример. Сложение Х 1=0, 1001*2101 Х 2=0, 1100*2100 1) р=101 -100=001 Х 2=0, 0110*2101 2)0, 1001 +0, 0110 0, 1111 3) Х 1+ Х 2=0, 1111*2101

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков: Пример. Вычитание Х 1=0, 1001*2101 Х 2=0, 1100*2100 1) р=101 -100=001 Х 2=0, 0110*2101 2) 0, 1001 -0, 0110 0, 0011 3) Х 1 - Х 2=0, 0011*2101=0, 11*211

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков: Пример. Умножение Х 1=q 1*2 p 1 Х 2=q 2*2 p 2 Х 1=10=0, 10*210 Х 2=10=0, 10*210 0, 10 *0, 10 0 00 01 0 000____ 0, 0100 X 1*X 2=q 1*q 2*2(p 1+p 2) р1+р2=10+10=100 X 1*X 2=0, 0100*2100

Выполнение арифметических операций над двоичными числами разных порядков: Пример. Деление Х 1=q 1*2 p 1 Х 2=q 2*2 p 2 Х 1=0, 110=110*2 -11 Х 2=0, 10=10*2 -10 10 10 11 10 10 0 р1 -р2=-11 -(-10)=-01 =11*2 -01

В ПК используются следующие разрядные сетки для представления чисел: 1 байт (8 разрядов) – полуслово 2 байта (16 разрядов) – слово 4 байта (32 разряда) – двоичное слово 8 байт (64 разряда) – расширенное слово -310 = -112 в восьмиразрядной сетке будет иметь вид: 1000011 Для кодирования знака числа отводится специальный разряд, называемый знаковым. Под него отводится старший разрядной сетки, «+» кодируется 0, «-» кодируется 1.

Выполнение арифметических операций в машинных кодах позволяет: свести операцию вычитания к операции сложения автоматически получать знак суммы выявлять переполнение разрядной сетки

Виды машинных кодов Прямой код числа представляется в виде абсолютной величины со знаком двоичного числа – это само двоичное число, в котором все цифры, изображающие его значение, записываются как в математической записи, а знак записывается в виде кода (0, 1) в старшем разряде. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым кодом. Дополнительный код положительного совпадает с его прямым кодом. числа

Виды машинных кодов Обратный код отрицательного числа получается с помощью замены значений всех цифр числа на противоположные за исключением знакового разряда. 310 = 112 в прямом, дополнительном и обратном коде будет иметь вид – 0000011 -310 = -112 прямом коде будет иметь вид: 1000011 -310 = -112 обратном коде будет иметь вид: 11111100

Виды машинных кодов Дополнительный код отрицательного числа получается в результате увеличения его обратного кода на 1. -310 = -112 обратном коде будет иметь вид: 11111100 -310 = -112 дополнительном коде будет иметь вид: 11111101

Пример 1. Выполнение операции в обратном коде Х 1 -Х 2=17 -5= 17+(-5)=12 [Х 1] пр=0001 [Х 2] пр=10000101 [Х 1] обр=0001 [Х 2] обр=11111010 При выполнении операций в обратном коде единица, ушедшая за 8 разряд, прибавляется к младшему разряду числа.

Пример 2. Х 1 -Х 2=5 -17= 5+(-17)=-12 [Х 1] пр=00000101 [Х 2] пр=10010001 00000101 +1110 11110011 обр. 10001100= -12 [Х 1] обр=00000101 [Х 2] обр=1110 Ответ всегда записывается в прямом коде. Если в результате получилось отрицательное число, то его необходимо перевести в прямой код.

Пример 3. Выполнение операции в дополнительном коде Х 1 -Х 2=17 -5= 17+(-5)=12 [Х 1] пр=0001 [Х 2] пр=10000101 [Х 1] обр=0001 [Х 2] обр=11111010 [Х 1] доп=0001 [Х 2] доп=11111011 При выполнении операций в дополнительном коде Единица, ушедшая за 8 разряд ВЫБРАСЫВАЕТСЯ.

Пример 4. Х 1 -Х 2=5 -17= 5+(-17)=-12 [Х 1] пр=00000101 [Х 2] пр=10010001 [Х 1] обр=00000101 [Х 2] обр= 1110 [Х 1] доп=00000101 [Х 2] доп= 11101111 Получили отрицательное число в доп. коде. Для перевода его в прямой код необходимо: 1. Проинвертировать все разряды числа, за исключением знакового; 2. Еще раз прибавить 1 к младшему разряду.

Модифицированный дополнительный машинный коды Модифицированный дополнительный код получается из дополнительного простым дублированием знакового разряда. "00" соответствует знаку "+", "11" - знаку "-". Любая другая комбинация ("01" или "10"), получившаяся в знаковых разрядах служит признаком переполнения разрядной сетки и получившийся результат – неверный. знак 5 4 3 2 1 0

Пример Переведем X и Y в модифицированный дополнительный код: Выполним сложение: В данном примере запятой отделены знаковые разряды!! Переполнения нет (в знаковых разрядах "00" – в результате получено положительное число), поэтому полученный результат - верный (X+Y=1111=41 -26= 15).

Пример 2 Обычная запись числа Х= -41= - 101001 У= 26= + 011010 Модифицированный обратный код 11 010110 00 011010 Модифицированный дополнительный код 11 010111 00 011010 Х+У= -41+26= -15 11 010111 +00 011010 11 110001 доп. модиф. код Переполнения нет (в знаковых разрядах "11" – в результате получено отрицательное число), поэтому полученный результат – нужно переводить в прямой код. 11 110001 доп. модиф. код 11 001110 обратный. модиф. код + 1 11 001111 , что соответствует числу - 1510

| Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 10 классы | Планирование уроков на учебный год (ФГОС) | Арифметические операции в позиционных системах счисления

Урок 15
§12. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления.

12.1. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления.

Таблица 3.2

Сложение в троичной системе счисления

Таблица 3.3

Сложение в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица 3.4

Сложение в восьмеричной системе счисления

q получить сумму S двух чисел А и Б , надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево:

Если a i + b i < q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
если a i + b i ≥ q, то s i = а i + b i - q, старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1.

Примеры:

12.2. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность R двух чисел А и В , надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево:

Если a i ≥ b i , то r i = a i - b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
если a i < b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110 2 = 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1 × 2 1 + 1 × 2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001 2 = 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 9 10 .

Сравним результаты - сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания

1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010 2 и 10 2 и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.

1.23. Сложить восьмеричные числа: 5 8 и 4 8 , 17 8 и 41 8 .

1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F 16 и А 16 , 41 16 и 17 16 .

1.25. Сложить числа: 17 8 и 17 16 , 41 8 и 41 16